简介
《义务教育数学课程标准(2022年版)》发布以来，在中小学数学教育界引起了广泛的关注和持续的讨论，话题之一是如何理解数学课程的整体性与一致性，进而落实于教学层面。这是引领学生关注知识本质，感受数学知识内部联系的重要前提。巩子坤教授团队聚焦数与代数领域，以“数的概念与运算的一致性”为主题展开了一系列深入研究。本期开始，我们将分六期连载相关研究成果，以期为一线教师研究新课标提供思路，进一步促进教学质量的提升。
前 5 篇综述
- 小数加减法运算
- 可以基于整数加减法的算理与算法进行,关键是相同计数单位上的数字相加减,计数单位不变
- 也可以基于分数加减法的算理与算法进行,与分数加减完全一致
- 小数乘法运算
- 可以基于整数乘法的算理与算法进行,但算理推演较复杂
- 基于分数乘法的算理与算法进行,则较为清晰
- 都是两种计数单位相乘,两计数单位上的数字相乘,得到新的计数单位和数字
- 小数除法运算
- 引入小数除法,是为了解决整数除法遗留的问题
- 可以基于整数除法的算理与算法进行,本质上是披着小数外衣的整数除法
- 也可以基于分数除法的算理与算法进行,与分数除法完全一致
- 都是将计数单位细分,转化为商是一位数的除法运算
- 小数运算的一致性
- 转化为分数,可以实现与分数运算算理、算法的一致性
- 转化为整数,可以实现与整数运算算理、算法的一致性
- 算理可以化归为运算律、等式的基本性质与计数单位
- 算法可以化归为基于计数单位的运算
| 学习问题 |
答案 |
| 小数加减法运算的关键是什么? |
关键是相同计数单位上的数字相加减,计数单位不变 |
| 小数乘法运算的算理为什么较复杂? |
直接基于整数乘法的算理与算法进行时较复杂,需要借助分数乘法的算理与算法才较为清晰 |
| 引入小数除法的目的是什么? |
是为了解决整数除法遗留的问题 |
| 小数运算为什么要转化为整数进行? |
可以实现与整数运算算理、算法的一致性,便于计算 |
| 小数运算的算法可以化归为什么? |
可以化归为基于计数单位的运算 |
1 《数的概念的一致性》
- 整数的认识
- 记数活动的本质是创造计数单位
- 先认识1~9,再认识0和10
- 认识万,就要用万来表示数
- 读数的关键在于计数单位和数字
- 分数的认识
- 分数的计数单位是分数单位
- 强调分数计数单位,重视分数的大小比较
- 通过举例、直观、符号表示逐步认识分数
- 建立分数与整数除法的关系
- 小数的认识
- 小数的计数单位与整数的一致
- 认识小数的关键是认识十进制的小数计数单位
- 从整数个位的自然延伸建构小数
- 数的概念一致性
- 计数单位是建构数的基础
- 认识数的关键是认识计数单位
- 整数、分数、小数的本质相同,都是对计数单位的表达
- 体验数的概念一致性
- 回顾数的组成结构,表达对计数单位的认识
- 比较不同数的大小,体会一致的比较方法
| 学习问题 |
答案 |
| 记数活动的本质是什么? |
创造计数单位 |
| 如何认识整数? |
先认识1~9,再认识0和10;用计数单位表示数;读数注重计数单位 |
| 分数的计数单位是什么? |
是分数单位 |
| 如何认识小数? |
认识十进制小数计数单位 |
| 数的概念一致性体现在哪里? |
都基于计数单位建构 |
| 如何体验数的概念一致性? |
回顾数的组成结构,比较不同数的大小 |
2 《运算意义的一致性》
- 加法
- 加法的意义:从比较多少的角度解释加法
- 加法是所有运算的基础和核心
- 核心是体现“等于”的本质
- 减法
- 乘法
- 乘法是加法的简便运算
- 乘法可以还原为加法
- 乘法满足运算律,与加法运算律一致
- 除法
- 除法是减法的简便运算,也是乘法的逆运算
- 除法可以看作同数连减的简便表示
- 除法可以看作乘法的逆运算
- 体验运算意义的一致性
- 所有运算都源于加法
- 加减乘除运算相辅相成,组成一个整体
| 学习问题 |
答案 |
| 加法意义的核心是什么? |
是体现“等于”的本质 |
| 减法与加法的关系是什么? |
减法是加法的逆运算 |
| 乘法与加法的关系是什么? |
乘法是加法的简便运算 |
| 除法与减法的关系是什么? |
除法是减法的简便运算 |
| 运算意义的一致性体现在哪里? |
认识所有运算都源于加法,加减乘除是一个整体 |
3 《整数运算算理、算法的一致性》
- 加减法
- 加法活动是记数活动的本质
- 相同计数单位上的数字相加减,计数单位不变
- 两位数加减一位数是整数加减的重点
- 乘法
- 计数单位与计数单位相乘,数字与数字相乘
- 分配律、交换律、结合律是乘法算理的基础
- 横式表达算理,竖式表达算法
- 除法
- 将计数单位细分,转化为商是一位数的除法运算
- 借助乘法分配律推导除法算理
- 四则运算顺序
- 有括号先算括号内,无括号先乘除后加减
- 与运算律、运算定义有关,也与使用习惯相关
- 整数运算一致性
- 算理可归为运算律、等式性质和计数单位
- 算法可归为基于计数单位的运算
| 学习问题 |
答案 |
| 整数加减法的关键是什么? |
是相同计数单位上的数字相加减 |
| 整数乘法算法的关键步骤是什么? |
是计数单位与计数单位相乘,数字与数字相乘 |
| 推导整数除法算理使用了什么? |
使用了乘法分配律 |
| 四则运算顺序的依据是什么? |
主要与运算律、运算定义有关 |
| 整数运算算法可归为什么? |
可归为基于计数单位的运算 |
4 《分数运算算理、算法的一致性》
- 基础知识
- 加减法
- 分母相同时,分子相加减
- 分母不同时,先通分后相加减
- 与整数、小数加减运算一致
- 乘法
- 单位分数相乘得到新的计数单位
- 非单位分数相乘,数字与数字相乘,计数单位与计数单位相乘
- 与整数、小数乘法一致
- 除法
- 建立整数除法与分数的关系
- 算法为乘除数的倒数
- 计数单位相除,数字相除,再相乘
- 与整数除法一致,都可化为商是一位数的除法
- 分数运算的一致性
- 算理来自运算律、等式性质和计数单位
- 算法可归为基于计数单位的运算
- 与整数运算高度一致
| 学习问题 |
答案 |
| 分数加减法的关键是什么? |
是同分母下的分子相加减 |
| 分数乘法与整数乘法一致在哪里? |
都是基于计数单位的运算 |
| 分数除法与整数除法一致在哪里? |
都可以转化为商是一位数的除法 |
| 分数运算如何体现一致性? |
算理与算法均可化归为运算律、等式性质和基于计数单位的运算 |
5 《小数运算算理、算法的一致性》
该文章总结为以下要点:
- 小数最早出现在《九章算术注》中,但并非按十进位制建构,也未按整数算法运算,到 18 世纪才成熟
- 建立小数一方面是现实需要,一方面是数学本身需要,主要代表无理数
- 小数获得“身份”需要两点:一是十进位制表达,二是整数算法运算
- 小数加减法与整数、分数加减法一致:同单位数字相加减,单位不变
- 小数乘法与整数乘法一致,但算理需基于分数说明;与分数乘法一致,是计数单位运算
- 小数除法是解决整数除法问题的需要,与整数除法一致,本质是乘法分配律;与分数除法一致,也是计数单位运算
- 探究小数算理可基于分数;运算可基于整数,体现小数的“两栖性”
- 总结小数运算算理可归结为运算律、等式性质和计数单位,与整数、分数一致;算法可归结为基于计数单位的运算,也与整数、分数一致
| 问题 |
答案 |
| 小数的产生与发展经历了哪些阶段? |
小数最早出现在《九章算术注》中,但并非按十进位制建构,也未按整数算法运算,到 18 世纪才成熟 |
| 建立小数的意义与价值体现在哪些方面? |
建立小数一方面是现实需要,一方面是数学本身需要,主要代表无理数 |
| 小数获得“身份”的两个条件是什么? |
一是十进位制表达,二是整数算法运算 |
| 小数四则运算与整数、分数运算的关系如何? |
小数加减法与整数、分数加减法一致;小数乘法与整数乘法一致,但算理需基于分数;小数除法是解决整数除法问题,与整数除法一致,也可基于分数理解;总体来说,小数运算算理可归结为运算律、等式性质和计数单位,与整数、分数一致;算法可归结为基于计数单位的运算,也与整数、分数一致 |
| 小数的“两栖性”表现在哪些方面? |
探究小数算理可基于分数;运算可基于整数,体现小数的“两栖性” |
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